Давньогрецька математика

Піфагорійська школа  Математика як теорія отримала розвиток у школі Піфагора (571—479 рр. до н.е.). Головним досягненням піфагорійців в області науки є істотний розвиток математики як за змістом, так і за формою. За змістом — відкриття нових математичних фактів. За формою — побудова геометрії і арифметики як теоретичних доказових наук, що вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричні форми. Дедуктивна побудова геометрії стала потужним стимулом її подальшого розвитку. Піфагорійці розвинули і обґрунтували планіметрію прямолінійних фігур — вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильні багатокутники. Отримала розвиток елементарна теорія кола. Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії вказує на те, що вони володіли методом доведення від супротивного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців у планіметрії є доказ теореми Піфагора. 

Остання на багато століть раніше була сформульована вавилонськими, китайськими й індійськими вченими, однак її доказ їм не був відомий. Успіхи піфагорійців у стереометрії були значними. Вони займалися вивченням властивостей кулі, відкрили побудову чотирьох правильних многокутників — тетраедра, куба, октаедра і додекаедра (ікосаедр досліджував згодом Геетет). Однак вони не змогли обґрунтувати твердження, які стосуються об'ємів тіл (піраміди, конуса, циліндра і кулі), хоча, звичайно, ці твердження були встановлені емпірично на багато століть раніше. В галузі арифметики піфагорійці вивчали властивості парних і непарних, простих і складених натуральних чисел, шукали досконалі числа, тобто такі, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (наприклад, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Піфагорійці знали також дробові числа і в зв'язку з цим розробили теорію арифметичної та геометричної пропорцій. Вони володіли поняттями середнього арифметичного, середнього геометричного і середнього гармонійного.

Поворотний пункт в історії античної математики 

Якими б великими не були досягнення піфагорійців у розвитку змісту та систематизації геометрії і арифметики, однак всі вони не можуть зрівнятися зі зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики. З приводу цього відкриття Аристотель говорив, що Піфагор показав, що якщо б діагональ квадрата була б порівнянна з його стороною, то парне дорівнювало б непарному. Це зауваження Арістотеля показує, що при доведенні несумірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор використовував метод від супротивного. Наприкінці V століття до н. е. Феодор із Кирени встановив, що несумірність діагоналі квадрата з його стороною не є винятком. Він показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3, 5, 6, …, 17 несумірні зі стороною одиничного квадрата. Піфагор вчив, що сутність усіх речей є число; число — самі речі; гармонія чисел — гармонія самих речей. Це природно: до відкриття Піфагора давньогрецькі математики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Піфагорійці знали тільки додатні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установки, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим або дробовим числом, яке «виражає сутність» цієї речі. Насправді це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональних чисел ірраціональних чисел, охарактеризувати несумірні величини числами іншої природи і таким чином відновити силу філософського принципу «все є число». Однак цей шлях, настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. В цьому випадку треба було побудувати досить точну арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорійської математики було справою нереальною. Тому треба було йти іншим шляхом — шляхом певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові і цілі числа, і намагатися будувати всю математику не на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.

Період Академії 

Період цілком самостійної діяльності греків в області математики починається з діяльності Платона і заснованої ним у 389 р. Філософської школи, відомої під ім'ям Академія. З цього часу подальший розвиток, якщо не всієї математики взагалі, то, безсумнівно, геометрії, зосереджується виключно в руках однієї грецької нації, яка й веде його, поки знаходить у своєму розпорядженні необхідні засоби. Головним результатом математичної діяльності самого Платона було створення філософії математики і, зокрема, її методології. Як відомо, його власні роботи дуже мало стосувалися збільшення математичних знань у кількісному відношенні і були спрямовані на встановлення точних визначень основних понять геометрії, на виявлення і відведення справжнього місця її основних положень, на приведення надбаних раніше математичних знань в суворий логічний зв'язок як між собою, так і з основними поняттями та положеннями, і нарешті, на приведення в повну ясність і вивчення методів відкриття та докази нових істин, методів. Методів, розроблених Платоном, за свідченням Прокла, було три: аналітичний, синтетичний та апологічний. Викладені, на підставі пізніших досліджень предмета, більш повним і головне більш певним чином, ці визначення представляються в наступному вигляді. Аналітичний метод полягає в утворенні ланцюга пропозицій, з яких кожне випливає з наступного за ним, як безпосередній наслідок. Синтетичний метод є частиною аналітичного і тому складається з ланцюгів пропозицій, з яких перше є доведена істина, а кожне з наступних є наслідком того, що йому передує. Про апологічний метод, або метод приведення до безглуздості, Евклід не говорить, але досить чітке його визначення поряд з нечіткими визначеннями аналізу і синтезу дає Прокл, при своєму приписуванні їх Платону; «Третій (апологічний) метод, — говорить він, — є приведення до неможливого, яке не доводить прямо того, що шукається, а спростовує те, що йому суперечить, і таким чином через зв'язок того й іншого знаходить істину». Вчені математики, що належали до Академії розпадалися на дві групи: на вчених, які отримали свою математичну освіту незалежно від Академії і перебували тільки в більш або менш тісних зносинах з нею, і на колишніх учнів Академії. До перших належали Теэтет Афінський, Леодам Фасосский, Архіт Тарентським і пізніше Евдокс Кнідський; до числа других — Неоклид, Леон, Амикл з Гераклеї, брати Менехм і Динострат, і під час старості Платона — Теюдий з Магнезії, Кизикен Афінський, Гермотим Колофонский, Філіп Мендейский і Філіп Опунтский.

uk.wikipedia.org