Сучасна математика 

Створення диференціального й інтегрального числень ознаменувало початок «вищої математики». Методи математичного аналізу, на відміну від поняття межі, що лежить в його основі, виглядали чіткими і зрозумілими. Багато років математики, у тому числі Ньютон і Лейбніц, марно намагалися дати точне визначення поняттю межі. І все ж, незважаючи на численні сумніви в обґрунтованості математичного аналізу, він знаходив все більш широке застосування.  Диференціальне і інтегральне числення стали наріжними каменями математичного аналізу, який з часом включив в себе і такі предмети, як теорія диференціальних рівнянь, звичайних і з частковими похідними, нескінченні ряди, варіаційне числення, диференціальна геометрія і багато іншого. Строге визначення межі вдалося отримати лише в 19-му столітті.

Неевклідова геометрія. До 1800 років, математика лежала на двох «китах», а саме  — на числовій системі і евклідовій геометрії. Так як багато властивостей числової системи доводили геометрично, евклідова геометрія була найбільш надійною частиною будівлі математики. Тим не менш, аксіома про паралельні прямі містила твердження про прямі, що тягнуться у нескінченність, яке не могло бути підтверджено досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евкліду, зовсім не стверджувала, що якісь прямі не перетнуться. У ній швидше формулювалася умова, при якій вони перетнуться в деякій кінцевій точці. Математики століттями намагалися знайти аксіомі про паралельні прямі відповідну заміну. Але в кожному варіанті неодмінно, у когось, був пробіл. Честь створення неевклідової геометрії випала Лобачевському М. І. та Я. Бояї, кожен з яких незалежно опублікував свій власний оригінальний виклад неевклідової геометрії. У їх геометріях, через дану точку можна було провести нескінченно багато паралельних прямих. В геометрії Б. Рімана через точку поза прямою не можна провести ні однієї паралельної. 

Про фізичні додатки неевклідової геометрії ніхто серйозно не думав. Але, створення в 1915 році А. Ейнштейном загальної теорії відносності, пробудило науковий світ до усвідомлення реальності неевклідової геометрії. 

Неевклідова геометрія стала найбільш вражаючим інтелектуальним звершенням 19-го століття. Вона ясно продемонструвала, що математику не можна більше розглядати, як звід незаперечних істин. У кращому випадку, математика могла гарантувати достовірність доказів на основі не достовірних аксіом. Проте, математики надалі здобули свободу досліджувати будь-які ідеї, які могли здаватися їм привабливими. Кожен математик окремо був тепер вільний вводити свої власні нові поняття і встановлювати аксіоми на свій розсуд, стежачи лише за тим, щоб теореми, які виникають з аксіом, не суперечили одна одній. Грандіозне розширення кола математичних досліджень в кінці 19-го століття, по суті, стало наслідком цієї нової свободи. 

Математична строгість. Приблизно до 1870 року, математики перебували в переконанні, що діють за визначенням древніх греків, застосовуючи дедуктивні міркування до математичних аксіом, тим самим забезпечуючи своїми висновками не меншу надійність, аніж та, якою володіли аксіоми. Неевклідова геометрія і кватерніони (алгебра, в якій не виконується властивість комутативності) змусили математиків усвідомити, що те, що вони брали за абстрактні і логічно несуперечливі затвердження, в дійсності ґрунтується на емпіричному та прагматичному базисі. 

Створення неевклідової геометрії супроводжувалося також усвідомленням існування в евклідової геометрії логічних прогалин. Одним з недоліків евклідової геометрії було використання припущень, не сформульованих в явному вигляді. Мабуть, Евклід не піддавав сумніву ті властивості, якими володіли його геометричні фігури, але ці властивості не були включені в його аксіоми. Окрім того, доводячи подобу двох трикутників, Евклід скористався накладенням одного трикутника на інший, не явно припускаючи, що при русі, властивості фігур не змінюються. Але окрім таких логічних прогалин, виявилося і кілька помилкових доказів. 

Створення нових алгебр, що почалося з квартерніонов, породило аналогічні сумніви і стосовно логічної обґрунтованості арифметики і алгебри звичайної числової системи. Всі раніше відомі математикам числа мали властивістю комутативності, тобто ab = ba. Кватерніони, вчинили переворот у традиційних уявленнях про числа, були відкриті в 1843 році В. Гамільтоном. Вони виявилися корисними для вирішення цілого ряду фізичних і геометричних проблем, хоча для кватерніонів не виконувалося властивість комутативності. Квартерніони змусили математиків усвідомити, що якщо не вважати присвяченій цілим числам і далекою від досконалості частини евклідових, арифметика і алгебра не мають власної аксіоматичної основи. Математики вільно поводилися з негативними та комплексними числами й виконували алгебраїчні операції, керуючись лише тим, що вони успішно працюють. Логічна строгість поступилася місцем демонстрації практичної користі введення сумнівних понять і процедур. 

Майже з самого зародження математичного аналізу, неодноразово робилися спроби підвести під нього суворі підстави. Математичний аналіз ввів два нових складних поняття — похідна і визначений інтеграл. Над цими поняттями билися Ньютон і Лейбніц, а також математики наступних поколінь, які перетворили диференціальне та інтегральне числення в математичний аналіз. Однак, незважаючи на всі зусилля, в поняттях межі, безперервності і диференційовності залишалося багато неясного. Крім того, з'ясувалося, що властивості алгебраїчних функцій не можна перенести на всі інші функції. Майже всі математики 18-го століття — початку 19-го століття, робили зусилля, щоб знайти сувору основу для математичного аналізу, і всі вони зазнали невдачі. Нарешті, в 1821 році, О. Коші, використовуючи поняття числа, підвів сувору базу під весь математичний аналіз. Однак пізніше, математики виявили у О. Коші логічні пробіли. Бажана строгість була нарешті досягнута в 1859 році К. Вейерштрасом. 

К. Вейерштрасс, спочатку вважав властивості дійсних і комплексних чисел самоочевидними. Пізніше він, як і Г. Кантор і Р. Дедекінд, усвідомив необхідність побудови теорії ірраціональних чисел. Вони дали коректне визначення ірраціональних чисел і встановили їх властивості, однак властивості раціональних чисел, як і раніше вважали самоочевидними. Нарешті, логічна структура теорії дійсних і комплексних чисел придбала свій закінчений вигляд в роботах Р. Дедекінда і Дж. Пеано. Створення підстав числової системи дало змогу вирішити також проблеми обґрунтування алгебри. 

Завдання посилення строгості формулювань евклідової геометрії було порівняно простим і зводилося до перерахування визначених термінів, уточнення визначень, введення відсутніх аксіом і заповнення прогалин у доказах. Це завдання виконав у 1899 році Д. Гільберт. Майже в той же час були закладені і основи інших геометрій. Д. Гільберт сформулював концепцію формальної аксіоматики. Одна з особливостей запропонованого ним підходу — трактування невизначених термінів: під ними можна мати на увазі будь-які об'єкти, що задовольняють аксіоми. Наслідком цієї особливості стала зростаюча абстрактність сучасної математики. Евклідова і неевклідова геометрії описують фізичний простір. Але в топології, що є узагальненням геометрії, невизначений термін «точка» може бути вільний від геометричних асоціацій. Для топології «точкою» може бути функція або послідовність чисел так само, як і що-небудь інше. Абстрактний простір являє собою багато таких «точок». 

Аксіоматичний метод Д. Гільберта увійшов майже в усі розділи математики 20-го століття. Однак, незабаром стало ясно, що цьому методу притаманні певні обмеження. У 1880-х роках, Г. Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні множини (наприклад, множина всіх раціональних чисел, множина дійсних чисел і т. д.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т. зв. трансфінітні числа. При цьому, він виявив в теорії множин протиріччя. Таким чином, до початку 20-го століття, математикам довелося мати справу з проблемою їх дозволу, а також з іншими проблемами підстав їх науки, такими, як неявне використання т. зв. аксіоми вибору.

І все ж ніщо не могло зрівнятися з руйнівним впливом теореми неповноти К. Геделя. Ця теорема стверджує, що будь-яка несуперечлива формальна система, що досить багата, щоб утримувати теорію чисел, обов'язково містить нерозв'язну пропозицію, тобто твердження, яке неможливо ні довести, ні спростувати в її рамках. Тепер загальновизнано, що абсолютного доказу в математиці не існує. Щодо того, що ж таке доказ, думки розходяться. Однак більшість математиків схильні вважати, що проблеми основ математики є філософськими. І справді, жодна теорема не змінилася внаслідок знову знайдених логічно строгих структур. Це засвідчує, що в основі математики лежить не логіка, а здорова інтуїція. 

uk.wikipedia.org